이산 수학, 대수학, 기하학의 콜라보레이션 (with 허준이 교수)

국내 최초로 필즈상을 수상한 허준이 교수의 연구분야에 대해  알아보고 허준이 교수의 연구가 수학적으로 어떤 의미를 지니고 있으며 어떤 분야에 응용 되는지에 대해서도 간략히 살펴보는 시간을 갖도록 하겠습니다.

이해를 돕기 위한 설명

● 조합론(이산수학)
● 대수학
● 기하학

조합론(이산수학)

조합론은 세는 방법에 관해 연구하는 수학의 한 분야입니다. 중고등학교 수학 시간에 배워 우리에게 어느 정도 익숙한 순열과 조합 정도라고 생각하시면 됩니다.

 ● 조합: 선택하는 방법의 수로서 예를 들어 서로 다른 4명 중에서 2명을 선택하는 경우의 수 

 ● 순열: 선택한 후 나열하는 경우까지 생각한 것으로 예를 들어 서로 다른 5명 중에서 3명을 선택하여 일렬로 나열하는 경               우의 수

그 밖에도 여러가지 경우에 대해 세는 방법을 연구하는 수학의 한 분야가 조합론입니다.

 

대수학

대수학은 초기에는 미지수를 포함한 방정식의 풀이에서 시작하여 고도의 추상화 과정을 거쳐, 연산을 가진 집합의 대수적 구조를 연구하는 학문으로 발전하였습니다. 여기서 대수적 구조란 집합과 연산에 대해 성립하는 여러 가지 성질에 관한 것입니다. 예를 들어 우리가 흔히 알고 있는 정수의 집합에 대하여 나누기 연산을 실행하면 그 결과가 반드시 정수가 된다는 보장은 없습니다. 그래서 정수 집합에서 사용할 수 있는 연산은 사칙연산에서 생각하면 더하기, 빼기 그리고 곱하기입니다. 

우리가 A라는 집합에 대해 연구를 했더니 그 성질이 사칙연산 중 더하기와 빼기 그리고 곱하기 연산에 대하여 정수와 같다는 사실을 알게 되었다고 가정하겠습니다. 그럼 이제부터 A라는 집합을 정수의 집합과 동일시 해도 될 것입니다. 바로 이렇게 집합과 연산에 대해 대수적 구조를 연구하고 서로 다른 구조를 비교하며 그들 사이의 관계를 발견하는 것이 대수학입니다.

 

기하학

기하학은 도형에 관한 학문입니다. 도형의 여러가지 성질을 다른 학문으로 크게 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학으로 나눕니다. 그리고 기하학을 바라보는 관점에 따라 여러 가지 기하학으로 분류하기도 합니다. 예를 들어 대수적 관점에서 기하학을 바라보면 대수기하학(해석 기하학이라고도 합니다.), 미분의 관점에서 기하를 바라보면 미분기하학이라고 합니다. 

대수기하학을 좀 더 살펴보면 좌표평면에서 두 점을 지나는 직선은 1차 다항식으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어 (1, 1), (2, 3)이라는 두 점을 지나는 직선의 방정식은 y = 2x - 1라는 x에 관한 일차식으로 나타나며 원이나 포물선, 타원 그리고 쌍곡선은 두 미지수에 관하여 2차 식으로 표현이 되는데 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2은 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r 인 원을 나타내고 포물선은 y^2 = 4px, 타원은 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1, 쌍곡선은 (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1로 표현할 수 있습니다. 이렇듯 대수를 통해 기하를, 기하를 통해 대수를 연구하는 학문이 대수기하학입니다.

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허준이 교수의 연구분야 로그 오목성

로그 오목 성이라는 단어를 이해하기 위해 사전에 알아야 할 배경 지식에 대해 간단히 설명을 하도록 하겠습니다.

● 채색 다항식

 

채색 다항식

채색 다항식을 설명하도록 하겠습니다.  n개의 서로 다른 색을 사용하여 삼각형의 각 꼭짓점을 변으로 연결된 이웃한 점과 서로 다른 색으로 칠하는 경우의 수는 어떻게 될까요?

삼각형의 경우 위의 그림과 같은 결과가 되고 각 항의 계수에 절댓값을 취한 뒤 살펴보면 1 <=3>=2 임을 알 수 있습니다.

사각형의 경우도 살펴보면 아래 그림과 같습니다.

사각형의 채색다항식

 

리드와 호가의 추측

삼각형의 경우와 마찬가지로 각 항의 계수에 절댓값을 취한 뒤 크기를 살펴보면 1 <=4 <=6>=3 임을 알 수 있습니다.

오각형과 육각 등 모든 다각형에 대해 채색 다항식은 다항함수임을 확인하실 수 있고 채색 다항식의 구체적인 그래프에 대해 계산해 보면 위의 두 가지 경우와 마찬가지로 채색 다항식의 계수들의 절댓값이 증가하다가 감소하는 흥미로운 패턴을 보이게 됩니다. 이렇듯 각 항의 계수의 절댓값은 증가하다가 감소할 수는 있지만 감소하다가 증가하는 혹은 증가와 감소를 반복할 수는 없다는 '리드와 호가의 추측'이 제기됩니다. 그리고 이 추축은 호가의 추측으로 강화되었는데 이는 계수들의 절댓값에 로그를 취하면 아래로 오목하다는 주장입니다.(아래로 오목은 위로 볼록이라는 말과 같습니다.) 로그함수는 증가함수이므로 채색 다항식의 각 계수의 절댓값이 증가하다가 감소하는 경향을 가지니 이는 어쩌면 당연한 결과로 생각됩니다. 그런데 놀랍게도 연관성이 없어 보이는 다른 조합론 문제에서도 로그 오목성이 나타나게 되고 이와 관련한 다양한 추측이 제기되는데 이에 대한 해답을 제시한 사람이 바로 허준이 교수입니다.

 

페르마의 마지막 정리와 앤드류 와일즈

허준이 교수의 증명 방법을 자세히 알 수는 없으나 허준이 교수의 증명방법에 대한 이야기를 들으면 유일하게 40세가 넘어 필즈상을 수상한 앤드류 와일즈라는 수학자가 생각납니다. 몇 백 년 동안 수학자들을 괴롭히던 '페르마의 마지막 정리'를 전혀 상관이 없을 것이라고 생각되던 수학분야를 통합하여 증명을 해냈습니다. 우리나라의 허준이 교수도 수학자 앤드류 와일즈처럼 서로 무관해 보이는 두 수학 분야를 자신만의 독특한 방법으로 여러 난제들을 증명해 보였다고 이해하시면 될 것 같습니다.

 

허준이 교수의 증명이 갖는 의미

허준이 교수는 겉보기에 서로 무관해 보이는 두 수학 분야를 연결해주는 이론적인 틀을 만들어 냄으로써 수학의 영역을 크게 확장시켰다고 볼 수 있습니다. 허준이 교수가 제시한 방법은 이미 정보통신, 반도체 설계, 교통, 물류, 기계학습, 통계 등 다양한 분야에 응용되고 있으며 앞으로도 여러 분야에 응용이 될 수 있을 것으로 생각되고 있습니다.

 

허준이 교수의 연구 결과는 수학사적으로도 굉장히 큰 의미를 가집니다. 로그 오목성이 자연의 여러 곳에서 관찰되는 것을 보면 현재까지 우리가 아는 기하학은 빙산의 일각으로 느껴집니다. 앞으로 대수기하학은 조합론뿐 아니라 다양한 수학분야의 문제 해결 방법을 제공할 수 있을 것으로 기대됩니다.

 

우리나라의 최초의 필즈상 수상자인 허준이 교수를 보며 우리나라의 수학교육이 나가야 할 방향에 대해 생각해 보게 됩니다. 앞으로 우리나라에서 리 만추 측을 해결할 인재가 등장하기를 기대하며 이번 포스팅을 마치겠습니다.